Summen von Quadraten in arithmetischen Funktionenkörpern

von Florian Pop in Bonn

Ziel vorliegender Note ist folgender

Satz. Sei K ein beliebiger Zahlkörper und F |K ein Funktionenkörper einer Variablen. Dann gilt:

(1) Ist f ≠ 0 Summe von Quadraten in F, und besitzt f keine reellen Nulloder Polstellen, so ist f Summe von höchstens fünf Quadraten in F. Dies ist z.B. der Fall für alle Funktionen f ≠ 0, wenn F keine Anordnungen zuläßt.

(2) Im allgemeinen ist jede Summe von Quadraten in F darstellbar als Summe von höchstens sechs Quadraten in F.

Beweis. Das Hauptwerkzeug zum Beweis ist das Katosche Lokal–Global Prinzip für reduzierte Normen von Divisionsalgebren, siehe Kato [K]. Siehe hierzu auch Colliot-Thélènes Appendix in [K]; sowie Colliot-Thélène–Jannsen [CT–J] für höhere Dimensionen; und Pourchet [Po] für genauere Aussagen im Fall F = K(t).

Wir können annehmen, daß K der Konstantenkörper von F ist. Sei X → K das glatte projektive Modell von F |K. Für eine beliebige Stelle 𝔳 von K bezeichne K_{𝔳} die Kompletierung von K an 𝔳, und X(K_{𝔳}) die Menge der K_{𝔳} -rationalen Punkte von X. Es gilt:

a) Ist X(K_{𝔳}) nicht leer, so ist X(K_{𝔳}) ein kompakter topologischer Raum, und jede Funktion f ∈ F definiert eine stetige Abbildung f_{𝔳} : X(K_{𝔳}) → K_{𝔳} ∪ ∞.

Für einen (Weil-)Primdivisor P von X sei κ(P) der Restklassenkörper von P. Wir sagen das P 𝔳-adisch ist, falls κ(P) eine K -Einbettung in K_{𝔳} zuläßt. Entsprechend sagen wir, daß P total nicht 𝔳-adisch ist, falls κ(P) keine K -Einbet-tungen in K_{𝔳} zuläßt. Es gilt:

b) X besitzt 𝔳-adische Primdivisoren ⇔ X(K_{𝔳}) ist nicht leer.

c) Ist K_{𝔳} ≠ ℂ, so besitzt X (viele) total nicht 𝔳-adische Primdivisoren.

Wir sagen, daß ein Primdivisor P von F |K reell ist, falls P 𝔳-adisch bezüglich einer reellen Stelle 𝔳 von K ist, und daß P total nicht reell ist, falls P total nicht 𝔳-adisch für alle reellen Stellen 𝔳 von K ist. Allgemeiner, ein divisor A von F |K heiße reell, falls in seinem Träger nur reelle Primdivisoren vorkommen, und total nicht reell, falls in seinem Träger nur total nicht reelle Primdivisoren vorkommen. Jeder Divisor A von X hat eine eindeutige Darstellung der Form

A = A^{reell} + A^{t.n. reell}

mit A^{reell} reell und A^{t.n. reell} total nicht reell. Es gilt:

d) Ist f ≠ 0 Summe von Quadraten in F, so kann (f)^{reell} dargestellt werden in der Form (f)^{reell} = 2A mit A reellem Divisor von X. Hier ist A = 0 zugelassen, sodaß diese Bedingung leer ist, falls F keine reellen Primdivisoren besitzt.

Zu (1): Sei f ≠ 0 eine Summe von Quadraten in F, die keine reellen Nulloder Polstellen besitzt. Sei 𝔳 eine reelle Stelle von K mit X(K_{𝔳}) ≠ ∅. Da f keine reellen Null- oder Polstellen besitzt und Summe von Quadraten ist, so ist die von f definierte Funktion f_{𝔳} : X(K_{𝔳}) → K_{𝔳} stetig und strikt positiv. Da X(K_{𝔳}) ein kompakter topologischer Raum ist, gibt es positive Schranken 0 < c′ ≤ c′′ < ∞ derart, daß c′ ≤ f_{𝔳} ≤ c′′.

Wir setzen nun f′ = f − (af + b)^{2}, wobei a, b rationale Zahlen sind derart, daß sie sehr kleinen Absolutbetrag haben, und 4ab − 1 ein Quadrat in ℚ_{2} ist, z.B. a = b = 1/2^{k} mit k >> 0. Für solche a und b, und q = x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} die reduzierte Norm der Hamiltonschen Quaternionenalgebra gilt:

Ist 𝔳 eine reelle Stelle von K wie oben, so ist f′_{𝔳} ≈ f_{𝔳} auf X(K_{𝔳}). Insbesondere ist f′ positiv definit auf X(K_{𝔳}). Daher gilt:

• Ist 𝔳 unendlich, so wird f′ von q über F K_{𝔳} dargestellt.

Als nächstes bemerken wir, daß f′ dargestellt werden kann wie folgt:

f′ = −[(af + b − 1/2a)^{2} + (4ab − 1)/(2a)^{2}],

somit ist f′ = −(Summe von zwei Quadraten) in ℚ_{2}(f). Da −1 eine Summe von vier Quadraten in ℚ_{2} ist, so folgt: f′ is Summe von vier Quadraten in ℚ_{2}(f). Insbesondere gilt:

• Ist 𝔳 2-adisch, so wird f′ von q über F K_{𝔳} dargestellt.

Schließlich, q ist hyperbolish über ℚ_{p} (alle p ≠ 2), and somit über jede Körpererweiterung von ℚ_{p}. Somit gilt:

• Ist 𝔳 p-adisch mit p ≠ 2, ∞, so wird f′ von q über F K_{𝔳} dargestellt.

Nach dem Katoschen Lokal–Global Prinzip für reduzierte Normen folgt: f′ wird von q über F dargestellt. Sodann gilt in F folgendes:

f = (af + b)^{2} + (Summe von vier Quadraten) = (Summe von fünf Quadraten).

Dem Beweis von (2) schicken wir folgende Behauptung voraus:

Behauptung. Sei f ≠ 0 eine Summe von Quadraten in F. Dann existiert eine Summe von zwei Quadraren u^{2} + v^{2} von F derart, daß (u^{2} + v^{2})^{reell} = (f)^{reell}. Insbesondere hat f/(u^{2} + v^{2}) keine reellen Null- oder Polstellen.

Beweis Beh. Ist (f)^{reell} = 0, so kann man z.B. u = 1 und v = 0 nehmen. Dies erledigt also auch den Fall, wo X keine reellen Primdivisoren besitzt.

Sei nun (f)^{reell} ≠ 0. Nach obigem d) gibt es reelle positive divisoren A und B von X mit (f)^{reell} = 2(A − B). Sei C ≠ 0 ein beliebiger positiver total nicht-reeller Divisor von X. Ist n >> 0, so gibt es nach dem Riemannschen Satz Funktionen g′, h′ in F mit Poldivisoren (g′)_{∞} = A + nC und (h′)_{∞} = B + nC. Nun setze man g = g′^{2} + 1 und h = h′^{2} + 1. Offensichtlich ist (g)^{reell} = −2A und (h)^{reell} = −2B und somit, (h/g)^{reell} = 2(A − B). Andererseits ist h/g darstellbar als Summe von zwei Quadraten h/g = u^{2} + v^{2} in F (weil die Menge der nicht-verschwindenden Summen von zwei Quadraten in F eine Untergruppe von F^{×} ist).

Zu (2): Sei f ≠ 0 eine Summe von Quadraten in F. Nach der obigen Behauptung gibt es Funktionen u, v, f_{0}, ..., f_{4} in F so, daß

f/(u^{2} + v^{2}) = f_{0}^{2} + ... + f_{4}^{2}.

Nun sind (u^{2} + v^{2})f_{0}^{2}, (u^{2} + v^{2})(f_{1}^{2} + f_{2}^{2}) und (u^{2} + v^{2})(f_{3}^{2} + f_{4}^{2}) Summen von je zwei Quadraten, somit ist f Summe von höchstens sechs Quadraten in F.

Literatur

[CT–J] Colliot-Thélène, J.-L. – Jannsen, U.: Sommes de carrés dans les corps de fonctions, C. R. Acad. .Scie. Paris Sér. Math. 312 (1991), no. 11, 759–762.

[K] Kato, K.: A Hasse principle for two-dimensional global fields. With an appendix by Jean-Louis Colliot-Thélène, J. reine angew. Math. 366 (1986), 142–183.

[Po] Pourchet, Y.: Sur la représentation en somme de carrés des polynomes à une indéterminé sur un corps de nombres algébriques, Acta Arith. 19 (1971), 89–104.