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0 0 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plo
t" -1 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 }3 
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{SECT 0 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" 
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 319 "#This worksheet is intended to give you \+
some feeling of how to use convolution to approximately compute deriva
tives. In the next command replace sin(x) with the function of your ch
oice. Use a function for which maple can compute its symbolic derivati
ves. This is the function we will study in the rest of the worksheet.
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "g := x-> sin(x); #Rplac
e sin(x) here with other functions." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
11 "g1 := D(g);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "g2 := D(g1);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"gG%$sinG" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%#g1G%$cosG" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#g2G,
$%$sinG!\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 101 "#Here we c
onvolve g with a rectangular pulse of width h and plot the results for
 several values of h." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "f0
 := (x,h)->(1/(2*h))*evalf(int(g(y),y=x-h..x+h));" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#>%#f0GR6$%\"xG%\"hG6\"6$%)operatorG%&arrowGF),$*&-%&eva
lfG6#-%$intG6$-%\"gG6#%\"yG/F8;,&9$\"\"\"9%!\"\",&F<F=F>F=\"\"\"F>!\"
\"#F=\"\"#F)F)F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "plot([g
(x),f0(x,.025),f0(x,.1),f0(x,.5),f0(x,1)],x=-Pi..Pi);" }}{PARA 13 "" 
1 "" {INLPLOT "6)-%'CURVESG6$7en7$$!1++JZEfTJ!#:$!15KT_Kzzi!#C7$$!1#*p
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4E=F*$!1hg#\\9oen*F37$$!1y<br\"4fw\"F*$!1NzlxzD5)*F37$$!1QQ*3**=dq\"F*
$!16I/pt64**F37$$!1:&yM5fzj\"F*$!1N'fSGau(**F37$$!1\">jg@*>q:F*$!0#RH<
#)******F*7$$!1/*R+5h@]\"F*$!1DFGt_Xw**F37$$!1<m,%)H7M9F*$!1,[&GGZn!**
F37$$!1d=2_cbo8F*$!1-]%fk*='z*F37$$!1)4F,K))HI\"F*$!1BO\\SD`V'*F37$$!1
*4!R#[0R=\"F*$!1qm;Cl'3E*F37$$!1Z@QqWIU5F*$!1f_me]oN')F37$$!1p3w$R)\\B
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7$F^]l$\"1y]L=Vf5IF--Fc]l6&Fe]lFi]lFi]lFf]l-F$6$7en7$F($!1oDxPOE%G&F-7
$F/$!1l2IF?%)[6F37$F5$!1>WN.#*oJ@F37$F:$!17PJMq?+KF37$F?$!1p$)oBo!y@%F
37$FD$!1:4!4k-X:&F37$FI$!1$yE'y.SSfF37$FN$!1scRca9dmF37$FS$!1dT$o\">6#
G(F37$FX$!1&HpdC4lx(F37$Fgn$!1'G#y'Hi>9)F37$F\\o$!1Y$z;WZ]D)F37$Fao$!1
ac5^ZBQ$)F37$Ffo$!1FMG#GQdR)F37$F[p$!1FN)zM3ZT)F37$F`p$!1Z6qVw*[R)F37$
Fep$!1#yYBRSiL)F37$Fjp$!1h#Q([$4KC)F37$F_q$!1lh(Q#Gv9\")F37$Fdq$!14]Eu
/v#z(F37$Fiq$!1$*e!3TymE(F37$F^r$!1@H-1tr1nF37$Fcr$!1fPtOIqMfF37$Fhr$!
1\"4-A_aX:&F37$F]s$!1)GgjEN(3UF37$Fbs$!126(G[*3OKF37$Fgs$!1]anW>8k@F37
$F\\t$!1qdBd\"eZ9\"F37$Fat$!1\"))Qb#4m4EFct7$Fgt$\"13h[!z'4O6F37$F\\u$
\"1P+m*pU38#F37$Fau$\"1U4B.$4+<$F37$Ffu$\"1/BpfO)p=%F37$F[v$\"1**[r%*e
x3^F37$F`v$\"1wKGn^n;fF37$Fev$\"17IRZ*44q'F37$Fjv$\"1t2%Qmq=H(F37$F_w$
\"1sy[PF'Gz(F37$Fdw$\"13!e,U\\L7)F37$Fiw$\"1tsA(H;CD)F37$F^x$\"1?$3U\"
*HUM)F37$Fcx$\"1(*G.<\"HiR)F37$Fhx$\"1+zI>0n9%)F37$F]y$\"1ka4-p*zR)F37
$Fby$\"1>W@G0lW$)F37$Fgy$\"1=q_WJEd#)F37$F\\z$\"1bd#4\\3a8)F37$Faz$\"1
OJE1&\\5x(F37$Ffz$\"1)*R:+$[dG(F37$F[[l$\"1l76TOwhmF37$F`[l$\"1&)=5%GY
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7$Fd\\l$\"1t1')Rm=#>#F37$Fi\\l$\"1xRbIX@X6F37$F^]l$\"1&[7F3X?k#F--Fc]l
6&Fe]lFf]lFi]lFf]l-%+AXESLABELSG6$Q\"x6\"%!G-%%VIEWG6$;$!+aEfTJ!\"*$\"
+aEfTJFfjn%(DEFAULTG" 2 349 262 262 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 
45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2465 
0 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 197 "#This comm
and convolves g with the weak derivative of a tent function. This give
s an approximation to the derivative of g. We again plot the convoluti
on for several values of h along with g itself." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "f1 := (x,h) -> (1/(h^2))*(evalf(int(g(y),y=x..
x+h))-evalf(int(g(y),y=x-h..x)));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>
%#f1GR6$%\"xG%\"hG6\"6$%)operatorG%&arrowGF)*&,&-%&evalfG6#-%$intG6$-%
\"gG6#%\"yG/F8;9$,&F;\"\"\"9%F=F=-F06#-F36$F5/F8;,&F;F=F>!\"\"F;FF\"\"
\"*$)F>\"\"#FG!\"\"F)F)F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
52 "plot([g1(x),f1(x,.1),f1(x,.25),f1(x,.5)],x=-Pi..Pi);" }}{PARA 13 "
" 1 "" {INLPLOT "6(-%'CURVESG6$7en7$$!1++JZEfTJ!#:$!\"\"\"\"!7$$!1'\\8
!o[6tIF*$!1dR#\\7jl(**!#;7$$!1#*pr)3PY+$F*$!1h@plBO1**F37$$!1+)*4R\\0X
HF*$!1@$G=_&[2)*F37$$!13E[*ysa)GF*$!1/?(R3-Qn*F37$$!1Y&))>2g9v#F*$!1sj
Rdke[#*F37$$!1,@@J!flh#F*$!1#))3;*32`')F37$$!1#QM::*H#[#F*$!1t%*)4+_U!
zF37$$!1]AhcI#yN#F*$!1dVKLTd#3(F37$$!1'=d-FN*GAF*$!1!=0%3dX;hF37$$!1&*
GBP$Rc4#F*$!1CRr;:x5]F37$$!1Dj&f)3xi>F*$!1B/R/'R,#QF37$$!1<(4AN*4E=F*$
!15L?OiQDDF37$$!1QQ*3**=dq\"F*$!1Xjd$yO^M\"F37$$!1\">jg@*>q:F*$\"1_hBi
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!1p3w$R)\\B#*F3$\"1,2e(\\*[RgF37$$!1Jc8o39GyF3$\"1V=%RO;$*3(F37$$!1#[B
P-8If'F3$\"1P!R#>U?/zF37$$!1B3<@?)yB&F3$\"1f2))\\nIf')F37$$!1!*R<YoZZR
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$Fis$\"1HxP;V4#z*F*7$F^t$\"1YnhsVV!z*F*7$Fct$\"1AQtfE,)y*F*7$Fht$\"1[7
BF&[\\y*F*7$F]u$\"1@@<!yH8y*F*7$Fbu$\"179iY%elx*F*7$Fgu$\"1ZxrS`fr(*F*
7$F\\v$\"1$e5oO!fl(*F*7$Fav$\"1\"[wc#)>&f(*F*7$Ffv$\"1:%4d7*>_(*F*7$F[
w$\"1t<#4)*eYu*F*7$F`w$\"1:`V<A5O(*F*7$Few$\"1\")*>3$)pqs*F*7$Fjw$\"1A
\\6o#3pr*F*7$F_x$\"1n3IV*Rkq*F*7$Fdx$\"1a^3:P/&p*F*7$Fix$\"1=6!*>F0$o*
F*7$F^y$\"1)f,H$*H9n*F*7$Fcy$\"1ZZ=P!)Rd'*F*7$Fhy$\"1*Q)Rd`?W'*F*7$F]z
$\"17b\"f-s%H'*F*7$Fbz$\"1c@K%QEZh*F*7$FgzFa^m-Fjz6&F\\[lF`[lF`[lF][l-
%+AXESLABELSG6$Q\"x6\"%!G-%%VIEWG6$;$!\"#F_[l$\"\"#F_[l%(DEFAULTG" 2 
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 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 264 "#Finally we convolve g with a weight which i
s the second derivative of the function \"w\" shown in the next plot. \+
This function is supported in the interval [-2h,2h]. It has two weak d
erivatives. We first compute and plot w and its first and second weak \+
derivatives." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 129 "w := (x,h)
->piecewise(-2*h<= x and x<-h, (x^2+4*h*x+4*h^2), -h<= x and x<h, 2*h^
2-x^2, h<x and x<2*h, x^2-4*h*x+4*h^2,0)/(4*h^3);" }}{PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 107 "w1 := (x,h)->piecewise(-2*h<= x and x<-h, 2*x+4*h,
 -h<= x and x<h, -2*x, h<x and x<2*h, 2*x-4*h,0)/(4*h^3);" }}{PARA 0 "
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\"!\"\"\"*$)F5\"\"$FD!\"\"#\"\"\"\"\"%F)F)F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
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his out with different h values." }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6'-%'CU
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 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 115 "f2 := (x,h)->(1/(2*h^3))*(evalf(int(g(y),y=x
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;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#f2GR6$%\"xG%\"hG6\"6$%)operato
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F9;FAFIFB\"\"\"*$)F?\"\"$FR!\"\"#F>FKF)F)F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 113 "#These plots show the second derivative of g alon
g with several approximations obtained by convolving with D^2 w." }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "plot([g2(x),f2(x,.1),f2(x,.2
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