{VERSION 5 0 "SUN SPARC SOLARIS" "5.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 1 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 
2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Warning" -1 7 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 }1 1 0 
0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Output" -1 11 1 {CSTYLE "" -1 
-1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 
0 1 }{PSTYLE "Maple Plot" -1 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 
1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart; with(plots)
:" }}{PARA 7 "" 1 "" {TEXT -1 50 "Warning, the name changecoords has b
een redefined\n" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 190 "#Here are the
 routines in fft_routines.txt. You can just copy thsi file into you wo
rksheet as shown below. If you know how to use it, the read command wi
ll lead to a nicer looking worksheet." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 1607 "# This routine uses the fast fourier transform to c
ompute the DFT. The input is a \n# vector [fh[1], ...fh[n]] of samples
 and the length, n of this vector. The routine finds \n# the smallest \+
power of 2 larger than n and computes a FFT of that length with zero \+
\n# padding to fill in the missing entries. It returns a vector whose \+
first entry is N the \n# length of the FFT, the next N entries are the
 FFT itself.\nmFFT := proc(fh,n) local i,j,k,a,b,M,N:  \nM:=ceil(evalf
(log[2](n))):  \nN := 2^(M): \na := hfarray(1..N): b := hfarray(1..N):
\nfor i from 1 to n do a[i] := evalf(Re(fh[i])): b[i] := evalf(Im(fh[i
])): od: \nif n< N then for k from 1 to N-n do a[k+n] :=0.0: b[k+n] :=
 0.0 od: end if: \nevalhf(FFT(M,var(a),var(b))): \n[seq( a[k]+I*b[k], \+
k=1..N)]: \nend:\n# This routine inverts the discrete Fourier transfor
m. The input is the vector \n# [[fh[1],...,fh[2^n]] followed by n wher
e 2^n is the length of this vector, the output is \n# the inverse Four
ier transform of fh.\nmiFFT := proc(fh,n) local a,b,c,i,j,k;\na := hfa
rray(1..2^n); b := hfarray(1..2^n);\nfor i from 1 to 2^n do a[i] := ev
alf(Re(fh[i])); b[i] := evalf(Im(fh[i]));  od; \nevalhf(iFFT(n,var(a),
var(b))); \n[seq( a[k]+I*b[k], k=1..2^n)];\nend:\n#This routine applie
s a filter with discretized transfer function [h[1],...,h[2^n]] to a \+
\n# function whose 2^n point FFT is given in [f[1],...f[2^n]].\nfil :=
 proc(f,h,n) local a, b,c,i,j,k;\nc := [seq(f[j]*h[j],j=1..2^n)];\na :
= hfarray(1..2^n); b := hfarray(1..2^n);\nfor i from 1 to 2^n do a[i] \+
:= evalf(Re(c[i])); b[i] := evalf(Im(c[i])); od;\nevalhf(iFFT(n,var(a)
,var(b)));\n[seq( a[k]+I*b[k], k=1..2^n)];\nend:\n" }}}{EXCHG {PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 42 "#We define a simple function and graph it." }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "f := x->piecewise(-1<x and x
<1, sqrt(1-x^2), 0);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"fGf*6#%\"x
G6\"6$%)operatorG%&arrowGF(-%*piecewiseG6%32!\"\"9$2F2\"\"\"-%%sqrtG6#
,&F4F4*$)F2\"\"#F4F1\"\"!F(F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 32 "p1:= plot(f,-2..2): display(p1);" }}{PARA 13 "" 1 "" 
{GLPLOT2D 349 262 262 {PLOTDATA 2 "6%-%'CURVESG6$7ep7$$!\"#\"\"!$F*F*7
$$!3MLLL$Q6G\">!#<F+7$$!3amm;M!\\p$=F/F+7$$!3LLLL))Qj^<F/F+7$$!3ALLL=K
vl;F/F+7$$!3wmm;C2G!e\"F/F+7$$!3OLL$3yO5]\"F/F+7$$!3&*****\\nU)*=9F/F+
7$$!3SLL$3WDTL\"F/F+7$$!35++]d(Q&\\7F/F+7$$!3gmmmc4`i6F/F+7$$!3(*****
\\(p7U7\"F/F+7$$!3KLLLQW*e3\"F/F+7$$!3!****\\izDV1\"F/F+7$$!3qmm;arvU5
F/F+7$$!3@+]7LG(>.\"F/F+7$$!3]LL37&)=@5F/F+7$$!39+Dc^jz:5F/F+7$$!3zm;/
\">//,\"F/F+7$$!3+]7y5\"3x+\"F/F+7$$!3VL3_I?,05F/F+7$$!3(oTg-&fJ-5F/F+
7$$!3w++++()>'***!#=$\"31sA(eA>qv#!#>7$$!3-,+](ob?%**Fio$\"3s(zh9@b\\2
\"Fio7$$!3E,++vE\"z))*Fio$\"3;&=*\\_[/$\\\"Fio7$$!3S++]i'pP$)*Fio$\"3y
v*zU?dd\"=Fio7$$!3k+++]miz(*Fio$\"3-omR-&)z(3#Fio7$$!3-+++D1Mr'*Fio$\"
3s#3#)z&*pEa#Fio7$$!3^++++Y0j&*Fio$\"3c6n6>SpBHFio7$$!3Q+++]D[Y$*Fio$
\"3O\\03lntbNFio7$$!3E++++0\"*H\"*Fio$\"3HMHLgezzSFio7$$!3=++++f\\7()F
io$\"3lNl@4DS3\\Fio7$$!35++++83&H)Fio$\"3r-rA%RY\\e&Fio7$$!3!ommT&)Gg
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Yh=(eFio$\"3-@%yMJ>X4)Fio7$$!3+,++v#\\N)\\Fio$\"3L*zA$e5tp')Fio7$$!3co
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!3t*****\\#=/8DFio$\"3gmGf3;3z'*Fio7$$!3<mmm;a*el\"Fio$\"3Lx&G^fZ>')*F
io7$$!3jomm;Wn(o)F\\p$\"3<0(y$z1>i**Fio7$$!3#G++]7bDW%F\\p$\"3/[E:yp7!
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$\"3&o****\\7RV'\\Fio$\"3H$G,**=X2o)Fio7$$\"3X'*****\\@fkeFio$\"3?B&3X
e(y*4)Fio7$$\"3_ILLL&4Nn'Fio$\"3\"[3^.#QVZuFio7$$\"3([mmm^b`5(Fio$\"3h
YrRLIhOqFio7$$\"3A*******\\,s`(Fio$\"3rBt3y]&>d'Fio7$$\"3.KL$e9=&GzFio
$\"3!*fLsJZ9%4'Fio7$$\"3%[mm;zM)>$)Fio$\"3c.C1fS+[bFio7$$\"33KL$eCZwu)
Fio$\"3>[eC&4za%[Fio7$$\"3L*******pfa<*Fio$\"3')\\Bx$=(HwRFio7$$\"3xJL
e*yGnP*Fio$\"3n!H;\"z;>vMFio7$$\"3Bkm;zy*zd*Fio$\"3eD+B^>OuGFio7$$\"3,
J$eRUK'y'*Fio$\"3;N(fCCrZ^#Fio7$$\"3o'**\\(opEz(*Fio$\"3?N\"eVg#[*3#Fi
o7$$\"3Ni;a8:!*z)*Fio$\"3+w8)fio^a\"Fio7$$\"38HLLeg`!)**Fio$\"33CgKPY=
OiF\\p7$$\"3Cm\"H#3Mo+5F/F+7$$\"3c**\\i5KJ.5F/F+7$$\"3*G$3-8I%f+\"F/F+
7$$\"3@mmT:Gd35F/F+7$$\"3'GL3-UKQ,\"F/F+7$$\"3^*****\\-#4>5F/F+7$$\"3
\"GL$eM7hH5F/F+7$$\"3Lmm;W/8S5F/F+7$$\"3:LLLj)o61\"F/F+7$$\"3v****\\#G
2A3\"F/F+7$$\"3Ymm\"H3XL7\"F/F+7$$\"3:LLL$)G[k6F/F+7$$\"3\")****\\7yh]
7F/F+7$$\"3wmmm')fdL8F/F+7$$\"3bmmm,FT=9F/F+7$$\"3FLL$e#pa-:F/F+7$$\"3
*)******Rv&)z:F/F+7$$\"3HLLLGUYo;F/F+7$$\"3_mmm1^rZ<F/F+7$$\"34++]sI@K
=F/F+7$$\"34++]2%)38>F/F+7$$\"\"#F*F+-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F+F+-
%+AXESLABELSG6$Q!6\"Ffbl-%%VIEWG6$;F(Fjal%(DEFAULTG" 1 2 0 1 10 0 2 9 
1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 "Curve 1" }}}}{EXCHG {PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 53 "#We sample f and compute its FFT we use 1024 sampl
es." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "for j from 1 to 1024
 do x[j] := f(-2+(j/256)) od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "fx
 := mFFT(x,1024):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 182 "#Here we de
fined the transfer function for a discrete version of the Hilbert tran
sform. Notice the ordering of the frequencies: the negative frequencie
s begin at 513 and end at 1024." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 24 "h[1] := 0: h[513] := -1:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 
"for jj from 2 to 512 do h[jj] := 1; h[jj+512] := -1 od:" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 194 "#We apply the filter to f. The input to \+
fil is the FFT of f, followed by the transfer function of the filter, \+
followed by an integer. 2 to the last argument is the number of sample
s in fx and h." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "hx := fil
(fx,h,10):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 123 "#We plot the imagi
nary part of the Hilbert transform of f....the real part is zero becau
se is a real valued, even function." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 46 "phx :=[seq([-2+(j/256),Im(hx[j])],j=1..1024)]:" }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "p2:=plot(phx,-2..2,color=green): di
splay([p1,p2]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 400 300 300 {PLOTDATA 2 
"6&-%'CURVESG6$7ep7$$!\"#\"\"!$F*F*7$$!3MLLL$Q6G\">!#<F+7$$!3amm;M!\\p
$=F/F+7$$!3LLLL))Qj^<F/F+7$$!3ALLL=Kvl;F/F+7$$!3wmm;C2G!e\"F/F+7$$!3OL
L$3yO5]\"F/F+7$$!3&*****\\nU)*=9F/F+7$$!3SLL$3WDTL\"F/F+7$$!35++]d(Q&
\\7F/F+7$$!3gmmmc4`i6F/F+7$$!3(*****\\(p7U7\"F/F+7$$!3KLLLQW*e3\"F/F+7
$$!3!****\\izDV1\"F/F+7$$!3qmm;arvU5F/F+7$$!3@+]7LG(>.\"F/F+7$$!3]LL37
&)=@5F/F+7$$!39+Dc^jz:5F/F+7$$!3zm;/\">//,\"F/F+7$$!3+]7y5\"3x+\"F/F+7
$$!3VL3_I?,05F/F+7$$!3(oTg-&fJ-5F/F+7$$!3w++++()>'***!#=$\"31sA(eA>qv#
!#>7$$!3-,+](ob?%**Fio$\"3s(zh9@b\\2\"Fio7$$!3E,++vE\"z))*Fio$\"3;&=*
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io$\"3c6n6>SpBHFio7$$!3Q+++]D[Y$*Fio$\"3O\\03lntbNFio7$$!3E++++0\"*H\"
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y*eCFio$\"35r_#z_dHp*Fio7$$\"3f)******R^bJ$Fio$\"3)o>(>E%eVV*Fio7$$\"3
&e*****\\5a`TFio$\"3smdU'3)f'4*Fio7$$\"3&o****\\7RV'\\Fio$\"3H$G,**=X2
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)Fio$\"3c.C1fS+[bFio7$$\"33KL$eCZwu)Fio$\"3>[eC&4za%[Fio7$$\"3L*******
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Bkm;zy*zd*Fio$\"3eD+B^>OuGFio7$$\"3,J$eRUK'y'*Fio$\"3;N(fCCrZ^#Fio7$$
\"3o'**\\(opEz(*Fio$\"3?N\"eVg#[*3#Fio7$$\"3Ni;a8:!*z)*Fio$\"3+w8)fio^
a\"Fio7$$\"38HLLeg`!)**Fio$\"33CgKPY=OiF\\p7$$\"3Cm\"H#3Mo+5F/F+7$$\"3
c**\\i5KJ.5F/F+7$$\"3*G$3-8I%f+\"F/F+7$$\"3@mmT:Gd35F/F+7$$\"3'GL3-UKQ
,\"F/F+7$$\"3^*****\\-#4>5F/F+7$$\"3\"GL$eM7hH5F/F+7$$\"3Lmm;W/8S5F/F+
7$$\"3:LLLj)o61\"F/F+7$$\"3v****\\#G2A3\"F/F+7$$\"3Ymm\"H3XL7\"F/F+7$$
\"3:LLL$)G[k6F/F+7$$\"3\")****\\7yh]7F/F+7$$\"3wmmm')fdL8F/F+7$$\"3bmm
m,FT=9F/F+7$$\"3FLL$e#pa-:F/F+7$$\"3*)******Rv&)z:F/F+7$$\"3HLLLGUYo;F
/F+7$$\"3_mmm1^rZ<F/F+7$$\"34++]sI@K=F/F+7$$\"34++]2%)38>F/F+7$$\"\"#F
*F+-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F+F+-F$6$7\\[o7$$!3++++]P4'*>F/$!31nWEc
7&*Q9F^w7$$!3+++++v=#*>F/$!3(f4Xprb&zGF^w7$$!3++++]7G))>F/$!3F(3-\"H&Q
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F^w7$$!3+++++Dcw>F/$!3FVM%*>v9S')F^w7$$!3++++]ils>F/$!3htiVEY_25F\\p7$
$!3++++++vo>F/$!3%4fp8Y#>_6F\\p7$$!3++++]P%['>F/$!3985%)H2h&H\"F\\p7$$
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F\\p7$$!3+++++voH>F/$!3Q;H(*)\\^gf#F\\p7$$!3++++]7yD>F/$!3@<!p%)*yGRFF
\\p7$$!3+++++](=#>F/$!3&*e$yW1!o&)GF\\p7$$!3++++](oz\">F/$!3D7`%3aN*GI
F\\p7$$!3+++++D19>F/$!3ZKRY*f#ovJF\\p7$$!3++++]i:5>F/$!3(oSu^wv*=LF\\p
7$$!3++++++D1>F/$!3Q6M8Hu4mMF\\p7$$!3++++]PM->F/$!3D&z9d(pW4OF\\p7$$!3
+++++vV)*=F/$!3=:.(o9jpv$F\\p7$$!3++++]7`%*=F/$!3>kgkdyQ+RF\\p7$$!3+++
++]i!*=F/$!371GyT'=$[SF\\p7$$!3********\\(=n)=F/$!3q<kU/u$=>%F\\p7$$!3
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j=F/$!3,n-a_Jjp]F\\p7$$!3**********\\Pf=F/$!3(y!e')>!G%>_F\\p7$$!3****
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$$!3++++]P%)R=F/$!33v*y?'fW`fF\\p7$$!3+++++v$f$=F/$!3e'4!\\n@'[5'F\\p7
$$!3++++]7.K=F/$!3cwe;P'z&\\iF\\p7$$!3+++++]7G=F/$!3B^q[7/e,kF\\p7$$!3
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Pf3=F/$!3CY)y^\"Q;VrF\\p7$$!3+++++vo/=F/$!3E0;*\\_bqH(F\\p7$$!3++++]7y
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]PMx<F/$!3G9J%>__$[$)F\\p7$$!3+++++vVt<F/$!3E+'>'p050&)F\\p7$$!3++++]7
`p<F/$!3h(*=nb(3Cl)F\\p7$$!3+++++]il<F/$!3^D^&))pL*4))F\\p7$$!3++++](=
<w\"F/$!34.U*)pNmd*)F\\p7$$!3+++++D\"yv\"F/$!3I!Hxh_\"*f6*F\\p7$$!3+++
+]i!Rv\"F/$!3m#\\E;%f;k#*F\\p7$$!3+++++++]<F/$!3))4oQnNKB%*F\\p7$$!3++
++]P4Y<F/$!3IPmAud'>d*F\\p7$$!3+++++v=U<F/$!3gKA%4H!)>t*F\\p7$$!3++++]
7GQ<F/$!3&>-q]%R6\"))*F\\p7$$!3+++++]PM<F/$!3I'zVmJ,U+\"Fio7$$!3++++](
o/t\"F/$!3UTSTNi;>5Fio7$$!3+++++DcE<F/$!3,I7RruMN5Fio7$$!3++++]ilA<F/$
!3k3*zuRm.0\"Fio7$$!3++++++v=<F/$!3;$z&ob=km5Fio7$$!3++++]P%[r\"F/$!30
^(H2H<<3\"Fio7$$!3+++++v$4r\"F/$!3wL&4w%**3)4\"Fio7$$!3++++]7.2<F/$!3c
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